Gusti Firmansyah

Online Learning :

Website Program Studi FTIK :

Website Program Studi FSIP:

Website Program Studi FEB :

Random variabel pada Normal Distribution

Definisi Distribusi Normal

Distribusi normal adalah distribusi probabilitas kontinu untuk random variabel.
Grafik distribusi normal disebut kurva normal.

Sifat-sifat Distribusi Normal

Distribusi normal memiliki sifat-sifat berikut:

Mean, median, dan modusnya adalah sama.
Kurva normal berbentuk lonceng dan simetris terhadap mean.
Luas daerah di bawah kurva normal sama dengan 1.
Kurva normal mendekati, tetapi tidak pernah menyentuh, sumbu - karena memanjang lebih jauh dan lebih jauh dari mean.
Di antara μ − σ dan μ + σ (di tengah kurva), grafik melengkung ke bawah. Grafik melengkung ke atas ke kiri μ − σ dan ke kanan μ + σ. Titik-titik di mana kurva berubah dari melengkung ke atas menjadi melengkung ke bawah adalah: disebut titik belok.

Sifat-sifat Distribusi Normal

Distribusi probabilitas diskrit dapat digambarkan dengan histogram
Distribusi probabilitas kontinu, kita dapat menggunakan fungsi kepadatan probabilitas (pdf).
Fungsi kepadatan probabilitas memiliki dua persyaratan:

Luas total di bawah kurva sama dengan 1, dan
Fungsi tidak pernah bisa negatif.

Rumus untuk pdf:

Rata-rata dan Standar Deviasi (rekap)

Sifat-sifat Distribusi Normal [contoh 1] :

Memahami Mean dan Standar Deviasi

Kurva normal mana yang memiliki mean lebih besar?
Kurva normal manakah yang memiliki simpangan baku lebih besar?

Sifat-sifat Distribusi Normal [solusi]

1. The line of symmetry of curve A occurs at x = 15 .

The line of symmetry of curve B occurs at x = 12 .

So, curve A has a greater mean.

2. Curve B is more spread out than curve A. So, curve B has a greater standard deviation.

Tugas Kuliah : Statistika probabilitas

Nama : Gusti Firmansyah

NPM : 20313010

Kelas : TI 20A

Website Fakultas dan Kemahasiswaan

Online Learning :

Website Program Studi FTIK :

Website Program Studi FSIP:

Website Program Studi FEB :

Normal Distributions

Normal Distributions ?

Distribusi normal merupakan sebuah fungsi probabilitas yang menunjukkan distribusi atau penyebaran suatu variabel. Fungsi tersebut umumnya dibuktikan oleh sebuah grafik simetris yang disebut kurva lonceng (bell curve). Saat menandakan distribusi yang merata, kurva akan memuncak di bagian tengah dan melandai di kedua sisinya dengan nilai yang setara.

Teori distribusi ini dikenal pula dengan istilah Distribusi Gauss (Gaussian Distribution).

Istilah tersebut mengacu pada Carl Friedrich Gauss, seorang matematikawan asal Jerman yang mengembangkan teori distribusi berisi fungsi eksponensial dua parameter pada periode 1794-1809. Meski demikian, teori awal yang menjadi cikal-bakal fungsi distribusi tersebut sebenarnya mulai dikembangkan oleh Abraham de Moivre pada tahun 1733.

Parameter Distribusi Normal

Seperti halnya teori distribusi lain dalam statistika probabilitas, bentuk kurva serta nilai peluang distribusi normal ditentukan oleh sejumlah parameter. Untuk distribusi ini, terdapat dua jenis parameter yang dijadikan acuan, yakni mean (nilai rata-rata) serta standar deviasi atau simpangan baku.

Nilai rata-rata digunakan sebagai pusat distribusi atau penyebaran nilai lainnya. Nilai tersebut akan menentukan lokasi titik puncak dalam kurva lonceng, sedangkan nilai-nilai lainnya akan menyebar mengikuti rerata.

Standar deviasi adalah penghitungan variabilitas yang menentukan lebar sebuah kurva distribusi normal. Standar ini dapat menghitung seberapa jauh kecenderungan data akan melebar dari nilai rata-rata yang menjadi titik pusatnya. Semakin kecil nilai standar deviasi, maka kurva akan berbentuk semakin runcing. Selain itu, standar deviasi juga menggambarkan jarak atau selisih umum antara mean dengan data lain yang diobservasi.

Karakteristik Distribusi Normal

Saat menunjukkan nilai penyebaran data, distribusi normal memiliki sejumlah karakteristik utama sebagai berikut:

Teori distribusi ini memiliki nilai mean, median, dan modus yang sama. Oleh karena itu, distribusinya sering pula disebut unimodal.

Kurva distribusi selalu bersifat simetris dengan bentuk lonceng (bell curve). Titik puncak kurva adalah nilai rata-rata. Nilai ini berada tepat di tengah kurva, sedangkan data distribusi terletak di sekitar garis lurus yang ditarik ke bawah dari titik tengah tersebut.

Mean (nilai rata-rata) dan nilai standar deviasi akan menentukan bentuk dan lokasi distribusi.

Jumlah luas daerah di bawah kurva normal bernilai 1, yakni ½ di sisi kiri dan ½ di sisi kanan. Hal ini juga berlaku untuk seluruh distribusi probabilitas kontinu.

Dalam kurva distribusi, dapat disimpulkan jika setengah data populasi akan memiliki nilai yang kurang dari angka rata-rata, sedangkan sebagian lagi memiliki nilai yang lebih besar.

Masing-masing ekor kurva di kedua sisi memanjang tak berbatas. Dalam beberapa kasus penghitungan distribusi, ekor kurva bahkan bisa memotong sumbu horizontal.

Kesimpulan: Seberapa Penting Distribusi Normal dalam Statistika?

Setelah mengetahui parameter dan karakteristik utama dalam teori distribusi normal, dapat disimpulkan jika teori ini memiliki posisi penting dalam konsep statistika peluang. Penerapan distribusi Gauss dianggap penting karena beberapa alasan berikut:

Dapat meningkatkan objektivitas penilaian. Hal ini sangat membantu dalam menempatkan anggota-anggota yang paling tepat untuk suatu kelompok tertentu, misalnya ketika mengevaluasi nilai siswa atau mengelompokkan pegawai dalam satu kriteria yang sama.
Dapat menghindari terjadinya bias atau penilaian yang condong pada satu kategori saja. Dengan distribusi yang simetris dan berpusat pada nilai rata-rata seluruh data dalam suatu populasi, penilaian yang berat sebelah atau tidak seimbang akan dapat dihindarkan.
Dapat membantu menentukan tingkat normalitas dan kecenderungan sentral. Dalam statistika, khususnya statistika peluang, normalitas suatu data adalah hal penting yang tidak boleh diabaikan. Melalui teori yang diterapkan oleh distribusi Gauss, kecenderungan sentral atau tingkat normalitas data dapat ditentukan secara lebih mudah.

Tugas Kuliah : Statistika probabilitas

Nama : Gusti Firmansyah

NPM : 20313010

Kelas : TI 20A

Website Fakultas dan Kemahasiswaan

Online Learning :

Website Program Studi FTIK :

Website Program Studi FSIP:

Website Program Studi FEB :

Normal Distributions & Standard Normal Distributions

Distribusi normal adalah keluarga distribusi dengan bentuk lonceng simetris:

Area di bawah masing-masing kurva di atas adalah sama dan sebagian besar nilai terjadi di tengah kurva. Mean dan standar deviasi dari distribusi normal mengontrol seberapa tinggi dan lebarnya.

Distribusi normal standar (distribusi z) adalah distribusi normal dengan mean 0 dan simpangan baku 1. Setiap titik (x) dari distribusi normal dapat diubah menjadi distribusi normal standar (z) dengan rumus z = ( x-mean) / simpangan baku. z untuk setiap nilai x tertentu menunjukkan berapa banyak standar deviasi x jauh dari rata-rata untuk semua nilai x. Misalnya, jika 1,4m adalah tinggi seorang murid sekolah di mana rata-rata untuk murid usia/jenis kelamin/etnisnya adalah 1,2m dengan standar deviasi 0,4 maka z = (1,4-1,2) / 0,4 = 0,5, yaitu murid adalah setengah standar deviasi dari mean (nilai di pusat kurva).

Diagram di atas menunjukkan kurva berbentuk lonceng dari distribusi normal (Gaussian) yang ditumpangkan pada histogram sampel dari distribusi normal. Banyak populasi menunjukkan distribusi normal atau mendekati normal. Ada juga banyak hubungan matematis antara distribusi normal dan distribusi lainnya. Kebanyakan metode statistik membuat "perkiraan normal" ketika sampel cukup besar.

Central Limit Theorem

Untuk memahami mengapa "perkiraan normal" dapat dibuat, pertimbangkan teorema limit pusat. Teorema limit pusat dapat dijelaskan sebagai berikut: Jika Anda mengambil sampel dari suatu populasi dengan beberapa distribusi arbitrer, mean sampel akan, dalam limit, cenderung berdistribusi normal dengan mean yang sama dengan populasi dan dengan varians yang sama dengan varians populasi dibagi dengan ukuran sampel. Oleh karena itu, plot histogram dari rata-rata banyak sampel yang diambil dari satu populasi akan membentuk kurva normal (berbentuk lonceng) terlepas dari distribusi nilai populasi.

Technical Validation

Area ekor dari distribusi normal dievaluasi hingga akurasi 15 desimal menggunakan komplemen dari fungsi kesalahan ( Abramowitz dan Stegun, 1964; Johnson dan Kotz, 1970 ). Kuantil dari distribusi normal dihitung hingga 15 tempat desimal menggunakan metode berdasarkan AS 241 ( Wichura, 1988 ).

z0.001 = -3.09022330616781

Ekor bawah P(z= -3.09022330616781) = 0,001

z0,25 = -0,674489750196082

Ekor bawah P(z= 0.674489750196082) = 0.25

z1E-20 = -9.26234008979841

Ekor bawah P(z= -9.26234008979841) = 9.99999999999962E-21

Dua hasil StatsDirect pertama di atas setuju dengan 15 tempat desimal dengan data referensi Wichura (1988). Nilai ekstrem (P ekor bawah 1E-20) dievaluasi dengan benar hingga 14 tempat desimal.

Definisi Fungsi

Fungsi distribusi, (z), dari variabel normal standar z:

StatsDirect menghitung (z) dari komplemen fungsi kesalahan (errc):

Tugas Kuliah : Statistika probabilitas

Nama : Gusti Firmansyah

NPM : 20313010

Kelas : TI 20A

Website Fakultas dan Kemahasiswaan

Online Learning :

Website Program Studi FTIK :

Website Program Studi FSIP:

Website Program Studi FEB :

Distribusi Probability

Distribusi Probabilitas

Random Variables

Random variable x merepresentasikan suatu nilai numerik yang berasosiasi dengan setiap outcome dari suatu probability experiment.

Kata “Random” mengindikasikan bahwa nilai x ditentukan secara kebetulan (by chance).

Dua Jenis Random Variables: Discrete dan Continuous

● Discrete: Semua kemungkinan outcomes dapat dihitung (countable) atau memiliki batasan (finite)

● Continuous: Semua kemungkinan outcomes tidak dapat dihitung (uncountable), umumnya direpresentasikan dengan nilai interval.

Dua Jenis Random Variables: contoh

Discrete

Random variable x merepresentasikan jumlah wisudawan dari Fakultas Teknologi Informasi di tahun ini.

Continuous

Random variable x merepresentasikan volume minyak goreng yang ditampung dalam sebuah tangki berkapasitas 150 Liter.

Discrete Probability Distributions

Suatu Discrete Probability Distribution mendata setiap kemungkinan nilai random variable beserta probabilitasnya.

Membangun Discrete Probability Distributions

1. Bangun frequency distribution untuk seluruh outcome

2. Hitung total jumlah kemunculan (sum of the frequencies)

3. Hitung probability untuk setiap outcome

4. Pastikan kedua syarat untuk suatu frequency distribution terpenuhi

Distribusi Binomial

Binomial Experiments

Binomial experiment merupakan suatu probability experiment yang memenuhi kriteria berikut:

● Memiliki jumlah percobaan (trials) yang tetap dan setiap trial independent terhadap trials lainnya.

● Setiap trial hanya memiliki dua kemungkinan outcomes; biasa dikategorikan sebagai success (S) atau failure (F).

● Memiliki nilai probability success yang sama untuk tiap trial.

● Random variabel x merepresentasikan jumlah kemunculan success dalam suatu experiment.

Binomial Probability Formula

Terdapat beberapa cara untuk menghitung probability dari x success dari sejumlah n trials pada suatu binominal experiment: Tree Diagram, Multiplication Rule, Binomial Probability Formula.

Geometric Distribution & Poisson Distribution

Geometric Distribution

Geometric Distribution merupakan suatu discrete probability distribution yang memenuhi kriteria berikut:

● Percobaan (trial) akan dilakukan berulang kali sampai mendapatkan outcome success.

● Setiap percobaan (trial) adalah independent terhadap trials lainnya.

● Memiliki nilai probability success (p) yang sama untuk tiap trial.

● Random variable x merepresentasikan banyaknya trials yang dilakukan sampai mendapati kondisi success.

Geometric Distribution: Formula

Poisson Distribution

Poisson Distribution merupakan suatu discrete probability distribution yang memenuhi kriteria berikut: ● Random variable x merepresentasikan banyaknya kemunculan suatu event dalam interval waktu tertentu.

● Nilai probability untuk kemunculan event adalah sama untuk setiap interval.

● Jumlah kemunculan event pada suatu interval adalah independent terhadap jumlah kemunculan event pada interval lainnya.

Poisson Distribution: Formula

Tugas Kuliah : Statistika probabilitas

Nama : Gusti Firmansyah

NPM : 20313010

Kelas : TI 20A

Website Fakultas dan Kemahasiswaan

Online Learning :

Website Program Studi FTIK :

Website Program Studi FSIP:

Website Program Studi FEB :

Permutasi dan Kombinasi

Definisi Permutasi dan Kombinasi

Permutasi dapat diartikan sebagai aturan pencacahan/penyusunan dengan memperhatikan urutan objek.
Sedangkan kombinasi merupakan suatu aturan pencacahan/penyusunan tanpa memperhatikan urutan objek.

Permasalahan 1:
Dalam suatu lomba yang diikuti oleh 10 peserta akan diambil juara 1, juara 2, dan juara 3. Berapa banyaknya kemungkinan susunan pemenang?

Permasalahan 2:
Dalam suatu kelas yang terdiri dari 12 siswa akan dikirimkan delegasi yang terdiri dari 3 orang. Berapa banyak susunan delegasi yang mungkin?

Pada permasalahan pertama, konsep yang digunakan adalah konsep permutasi, Karena pada permasalahan tersebut memperhatikan urutan, yaitu juara 1, juara 2, dan juara 3.

Sedangkan, pada permasalahan dua kita dapat menyelesaikannya dengan konsep kombinasi karena permasalahan tersebut penyusunannya tidak memperhatikan urutan.

Perbedaan Permutasi dan Kombinasi

Terdapat beberapa perbedaan antara permutasi dan kombinasi. Perbedaan tersebut salah satunya yaitu permutasi memperhatikan urutan objek, sedangkan pada kombinasi tidak memperhatikan urutan.
Akibatnya permutasi dan kombinasi pun memiliki perbedaan dalam penyelesaiannya.

Rumus Permutasi

Secara umum, rumus permutasi yaitu sebagai berikut.

P(n, r) = n!/(n-r)!

Keterangan:
P(n, r) : permutasi r objek dari n objek yang ada
n : banyaknya objek keseluruhan
r : banyaknya objek yang diamati/diberi perlakuan

Rumus Kombinasi

Rumus kombinasi r objek dari n objek dapat dituliskan sebagai berikut.

C(n, r) = n!/(r! (n – r)!)

Keterangan:
C(n, r) : permutasi r objek dari n objek yang ada
n : banyaknya objek keseluruhan
r : banyaknya objek yang diamati/diberi perlakuan

Kesimpulan

Permutasi dapat diartikan sebagai aturan pencacahan/penyusunan dengan memperhatikan urutan objek. Sedangkan kombinasi merupakan suatu aturan pencacahan/penyusunan tanpa memperhatikan urutan objek.
Perbedaan permutasi dan kombinasi yaitu pada permutasi memperhatikan urutan objek, sedangkan pada kombinasi tidak.
Rumus untuk permutasi adalah P(n, r) = n!/(n – r)!
Rumus untuk permutasi siklis adalah (n – 1)!
Rumus untuk kombinasi adalah C(n, r) = n!/(r! (n – r)!

Tugas Kuliah : Statistika probabilitas

Nama : Gusti Firmansyah

NPM : 20313010

Kelas : TI 20A

Website Fakultas dan Kemahasiswaan

Online Learning :